JavaScript is disabled in your web browser or browser is too old to support JavaScript. Today almost all web pages contain JavaScript, a scripting programming language that runs on visitor's web browser. It makes web pages functional for specific purposes and if disabled for some reason, the content or the functionality of the web page can be limited or unavailable.

Takk for at du vil dele artikkelen

Den du deler artikkelen med, kan lese og eventuelt lytte til heile artikkelen.
Det gjer vi for at fleire skal oppdage DAG OG TID.

Namnet ditt vert synleg for alle du deler artikkelen med.

TeknologiFeature

Musikkteori for tonedauve 

Musikk er matematikk, og kanskje den einaste forma for brøkrekning som kan vekkja andre kjensler enn berre frustrasjon.

Kvar veke les vi inn utvalde artiklar, som abonnentane våre kan lytte til.
Lytt til artikkelen
Piano har vore ei kjelde til musikkglede i mange hundre år. Men kva er musikk? Og kvifor lèt eit veltemperert piano så godt i øyra?

Piano har vore ei kjelde til musikkglede i mange hundre år. Men kva er musikk? Og kvifor lèt eit veltemperert piano så godt i øyra?

Kjelde: Per Thorvaldsen og DALL-E 3

Piano har vore ei kjelde til musikkglede i mange hundre år. Men kva er musikk? Og kvifor lèt eit veltemperert piano så godt i øyra?

Piano har vore ei kjelde til musikkglede i mange hundre år. Men kva er musikk? Og kvifor lèt eit veltemperert piano så godt i øyra?

Kjelde: Per Thorvaldsen og DALL-E 3

5577
20240426
5577
20240426

Eg er bjørnen Colargol, som kan syngja i dur og moll. Nei, rett nok har eg gått i hi her på sofaen, men musisering har aldri vore mi sterke side. Heldigvis er utsikta god.

Dei tekkjelege barna mine speler Beethoven firhendig til fars store undring og glede. Det er godt at ikkje alt går i arv, men dette må vel nærast verta kategorisert som mutasjon. Er det verkeleg gena mine? Kva er det dei intuitivt forstår som eg ikkje fattar?

Alt er tal

Musikk er matematikk, og kanskje den einaste forma for brøkrekning som kan vekkja andre kjensler enn berre frustrasjon. Musikk har gledd mennesket i uminnelege tider og kanskje før det òg. Alt dronning Shubad frå Ur lytta til ljuvlege harpetonar 2700 f.Kr. Ja, og når me først er inne på Jesus, hugsar me vel alle forteljinga om forfedrane hans som song og dansa rundt gullkalven – ein sjanger som aldri heilt har gått av moten.

Musikkteori, derimot, var det grekarane som var fyrst ute med. Pytagoras (525 f.Kr.), filosofen med x2+y2=z2, fann ut at dersom lengda av to eller fleire strenger oppfører seg som brøkar av små heile tal, lagar dei lyd som gjev fryd for øyra.

Dersom ein streng er dobbelt så lang som ein annan, vil frekvensen til lydbylgja frå den kortaste strengen vera den dobbelte av den frå den lengste strengen, og desse tonane blandar seg vakkert i våre øyre. Harmoniar skapte av tre tonar, ein treklang, lyder godt (i alle fall for oss i den vestlege kulturen) dersom frekvensane oppfører seg som brøkar av 4, 5 og 6.

Oktav

Med denne kunnskapen er det berre å setja i gang med pianofabrikk. Tonane me har til rådvelde, er 4, 5, 6 og 8. Men det er jo 88 tangentar. Her må det produserast fleire. La oss ta 8, som ikkje alt er med i ein treklang, og skapa ein ny. 5 1/3, 6 2/3 og 8 gjer susen, sidan forholdet mellom dei er som 4, 5 og 6. Me har no seks tal: 4, 5, 5 1/3, 6, 6 2/3 og 8, samansette av to samanvovne treklangar som er balsam for sjela. Her er berre eitt misforhold. Fire av tonane er hopa saman i midten. Svært uheldig, men ved å laga ein ny treklang 4 1/2, 6 og 7 1/2 fyller me dei utrivelege hola.

Me har no den vanlege musikalske skalaen vår, samansett av åtte tonar – ein oktav: 4, 4 1/2, 5, 5 1/3, 6, 6 2/3, 7 1/2 og 8, og frekvensen på siste tone er den dobbelte av den fyrste. Den skalaen me har leikt oss fram til, vert kalla for rettstemt, og er litt annleis enn den Pytagoras skildra. Pytagoras var meir driven i brøkar enn vi og brukte 4, 4 1/2, 81/16, 5 1/3, 6 3/4, 7 19/32, og 8. Ein ser at tredje, sjette og sjuande vert litt annleis enn vår skala. No har den norske amatørmatematikaren Børre Nyhoff komme fram til ein geometrisk metode for å konstruera båe skalaene. 

Børre Nyhoffs metode for å finna tonar i den pytagoreiske skalaen brukar ein rettvinkla trekant. Korleis han går fram, kan du lesa om i artikkelen han gav ut i 2023.

Børre Nyhoffs metode for å finna tonar i den pytagoreiske skalaen brukar ein rettvinkla trekant. Korleis han går fram, kan du lesa om i artikkelen han gav ut i 2023.

Kva frekvensar kan eg så lytta til? I beste fall frekvensar ein stad mellom 50 og 15.000 Hz. Her må det gjennomførast ei flytting frå domenet 4 til 8 og inn i det høyrlege området. Musikarar tek utgangspunkt i den einstrokne oktaven (han rundt G-nøkkelen) og med A = 440 Hz. Så lat oss multiplisera den opphavlege skalaen med 66 og få fylgjande skala: 264, 297, 330, 352, 396, 440, 495 og 528 Hz.

Musikk er som sagt matematikk, men ikkje alle musikarar forstår brøkrekning. Edvard Grieg, til dømes, var heilt håplaus i algebra, men det må også leggjast til at matematikaren Nils Henrik Abel var totalt tonedøv. I staden for frekvensar bruker musikarar regler som do-re-mi-fa-so-la-ti-do eller bokstavane C-D-E-F-G-A-H-C. Fire oktavar vert så enkelt laga ved å dobla eller halvera frekvensar. Verre er det ikkje. 

Ibenholt og elfenbein

Korleis går det så med brøkrekninga? Lat oss taka ein titt.

D/C=297/264=1,125

E/D=330/297=1,111

F/E=352/330= 1,067

G/F=396/352= 1,125

A/G=440/396=1,111

H/A=495/440=1,125

C/H=528/495=1,067

Dei sju intervalla fell inn i tre grupper av brøkar der to er ganske like, medan den tredje er cirka halvparten av dei to andre. For å auka den musikalske fleksibiliteten hadde det vore kjekt å fylla inn med nokre nye tonar der spranga i brøkane er størst, og det ville gitt ei jamn fordeling av tonar.

C-X-D-X-E-F-X-G-X-A-X-H-C

Ta ein titt på pianoet. X-ane er jo dei svarte tangentane. Ser ein på tangentane inst, er det altså eit halvt tonetrinn mellom alle tangentane anten dei er svarte eller kvite. No er det lett å finna C, rett til venstre for gruppa med to svarte tangentar. Start med C og spel skalaen. Vakkert. Vil du briljera, så spel treklangane C-E-G, G-H-D og F-A-C. Herleg harmonisk. Ein treklang som er gjeven av forholdet mellom 4, 5 og 6, er altså samansett av tonar som er høvesvis to tonetrinn og halvtanna tonetrinn frå kvarandre. For sjølve skalaen C-D-E-F-G-A-H-C er mønsteret av intervall: heilt, heilt, halvt, heilt, heilt, heilt og halvt.

I musikk vert det brukt ein litt annan frekvensskala enn den me er vande med frå fysikken. Han er ikkje lineær, sidan frekvensavstanden mellom to kvite tangentar ikkje alltid er den same. Dersom det er ein svart tangent mellom, er det eit heilt tonetrinn i skilnad, men er det ingen svart tangent, er skilnaden eit halvt tonetrinn.

I musikk vert det brukt ein litt annan frekvensskala enn den me er vande med frå fysikken. Han er ikkje lineær, sidan frekvensavstanden mellom to kvite tangentar ikkje alltid er den same. Dersom det er ein svart tangent mellom, er det eit heilt tonetrinn i skilnad, men er det ingen svart tangent, er skilnaden eit halvt tonetrinn.

Nei, no får det vera nok teori. Eg tek ein tur på loftet og finn fram det elektriske pianoet eg kjøpte i elektronikkstroket Akihabara i Tokyo for meir enn 30 år sidan. Mi beste investering. Ho gjorde barna interessert i musikk. Eg prøver å spela nokre strofer frå «The Entertainer» som har brent seg fast i hjerneborken. Eg går fort lei og skrur på den gamle Tandbergen som no er utstyrt med Spotify. Eg lèt Leif Ove Andsnes overta. Eg er nok ein betre lyttar enn utøvar.

Per Thorvaldsen

pth@hvl.no

Kjelder: Isaac Asimov, Science, Numbers, and I – Matter of Scale, Doubleday 1968, ISBN 0441754570

Børre Nyhoff, Alv I. Aarskog, og Sverre Holm, Geometric Construction of Pythagorean and Just Musical Scales and Commas, The Mathematical Intelligencer, mars 2023

Digital tilgang til DAG OG TID – heilt utan binding

Prøv ein månad for kr 49.
Deretter kr 199 per månad. Stopp når du vil.

Eg er bjørnen Colargol, som kan syngja i dur og moll. Nei, rett nok har eg gått i hi her på sofaen, men musisering har aldri vore mi sterke side. Heldigvis er utsikta god.

Dei tekkjelege barna mine speler Beethoven firhendig til fars store undring og glede. Det er godt at ikkje alt går i arv, men dette må vel nærast verta kategorisert som mutasjon. Er det verkeleg gena mine? Kva er det dei intuitivt forstår som eg ikkje fattar?

Alt er tal

Musikk er matematikk, og kanskje den einaste forma for brøkrekning som kan vekkja andre kjensler enn berre frustrasjon. Musikk har gledd mennesket i uminnelege tider og kanskje før det òg. Alt dronning Shubad frå Ur lytta til ljuvlege harpetonar 2700 f.Kr. Ja, og når me først er inne på Jesus, hugsar me vel alle forteljinga om forfedrane hans som song og dansa rundt gullkalven – ein sjanger som aldri heilt har gått av moten.

Musikkteori, derimot, var det grekarane som var fyrst ute med. Pytagoras (525 f.Kr.), filosofen med x2+y2=z2, fann ut at dersom lengda av to eller fleire strenger oppfører seg som brøkar av små heile tal, lagar dei lyd som gjev fryd for øyra.

Dersom ein streng er dobbelt så lang som ein annan, vil frekvensen til lydbylgja frå den kortaste strengen vera den dobbelte av den frå den lengste strengen, og desse tonane blandar seg vakkert i våre øyre. Harmoniar skapte av tre tonar, ein treklang, lyder godt (i alle fall for oss i den vestlege kulturen) dersom frekvensane oppfører seg som brøkar av 4, 5 og 6.

Oktav

Med denne kunnskapen er det berre å setja i gang med pianofabrikk. Tonane me har til rådvelde, er 4, 5, 6 og 8. Men det er jo 88 tangentar. Her må det produserast fleire. La oss ta 8, som ikkje alt er med i ein treklang, og skapa ein ny. 5 1/3, 6 2/3 og 8 gjer susen, sidan forholdet mellom dei er som 4, 5 og 6. Me har no seks tal: 4, 5, 5 1/3, 6, 6 2/3 og 8, samansette av to samanvovne treklangar som er balsam for sjela. Her er berre eitt misforhold. Fire av tonane er hopa saman i midten. Svært uheldig, men ved å laga ein ny treklang 4 1/2, 6 og 7 1/2 fyller me dei utrivelege hola.

Me har no den vanlege musikalske skalaen vår, samansett av åtte tonar – ein oktav: 4, 4 1/2, 5, 5 1/3, 6, 6 2/3, 7 1/2 og 8, og frekvensen på siste tone er den dobbelte av den fyrste. Den skalaen me har leikt oss fram til, vert kalla for rettstemt, og er litt annleis enn den Pytagoras skildra. Pytagoras var meir driven i brøkar enn vi og brukte 4, 4 1/2, 81/16, 5 1/3, 6 3/4, 7 19/32, og 8. Ein ser at tredje, sjette og sjuande vert litt annleis enn vår skala. No har den norske amatørmatematikaren Børre Nyhoff komme fram til ein geometrisk metode for å konstruera båe skalaene. 

Børre Nyhoffs metode for å finna tonar i den pytagoreiske skalaen brukar ein rettvinkla trekant. Korleis han går fram, kan du lesa om i artikkelen han gav ut i 2023.

Børre Nyhoffs metode for å finna tonar i den pytagoreiske skalaen brukar ein rettvinkla trekant. Korleis han går fram, kan du lesa om i artikkelen han gav ut i 2023.

Kva frekvensar kan eg så lytta til? I beste fall frekvensar ein stad mellom 50 og 15.000 Hz. Her må det gjennomførast ei flytting frå domenet 4 til 8 og inn i det høyrlege området. Musikarar tek utgangspunkt i den einstrokne oktaven (han rundt G-nøkkelen) og med A = 440 Hz. Så lat oss multiplisera den opphavlege skalaen med 66 og få fylgjande skala: 264, 297, 330, 352, 396, 440, 495 og 528 Hz.

Musikk er som sagt matematikk, men ikkje alle musikarar forstår brøkrekning. Edvard Grieg, til dømes, var heilt håplaus i algebra, men det må også leggjast til at matematikaren Nils Henrik Abel var totalt tonedøv. I staden for frekvensar bruker musikarar regler som do-re-mi-fa-so-la-ti-do eller bokstavane C-D-E-F-G-A-H-C. Fire oktavar vert så enkelt laga ved å dobla eller halvera frekvensar. Verre er det ikkje. 

Ibenholt og elfenbein

Korleis går det så med brøkrekninga? Lat oss taka ein titt.

D/C=297/264=1,125

E/D=330/297=1,111

F/E=352/330= 1,067

G/F=396/352= 1,125

A/G=440/396=1,111

H/A=495/440=1,125

C/H=528/495=1,067

Dei sju intervalla fell inn i tre grupper av brøkar der to er ganske like, medan den tredje er cirka halvparten av dei to andre. For å auka den musikalske fleksibiliteten hadde det vore kjekt å fylla inn med nokre nye tonar der spranga i brøkane er størst, og det ville gitt ei jamn fordeling av tonar.

C-X-D-X-E-F-X-G-X-A-X-H-C

Ta ein titt på pianoet. X-ane er jo dei svarte tangentane. Ser ein på tangentane inst, er det altså eit halvt tonetrinn mellom alle tangentane anten dei er svarte eller kvite. No er det lett å finna C, rett til venstre for gruppa med to svarte tangentar. Start med C og spel skalaen. Vakkert. Vil du briljera, så spel treklangane C-E-G, G-H-D og F-A-C. Herleg harmonisk. Ein treklang som er gjeven av forholdet mellom 4, 5 og 6, er altså samansett av tonar som er høvesvis to tonetrinn og halvtanna tonetrinn frå kvarandre. For sjølve skalaen C-D-E-F-G-A-H-C er mønsteret av intervall: heilt, heilt, halvt, heilt, heilt, heilt og halvt.

I musikk vert det brukt ein litt annan frekvensskala enn den me er vande med frå fysikken. Han er ikkje lineær, sidan frekvensavstanden mellom to kvite tangentar ikkje alltid er den same. Dersom det er ein svart tangent mellom, er det eit heilt tonetrinn i skilnad, men er det ingen svart tangent, er skilnaden eit halvt tonetrinn.

I musikk vert det brukt ein litt annan frekvensskala enn den me er vande med frå fysikken. Han er ikkje lineær, sidan frekvensavstanden mellom to kvite tangentar ikkje alltid er den same. Dersom det er ein svart tangent mellom, er det eit heilt tonetrinn i skilnad, men er det ingen svart tangent, er skilnaden eit halvt tonetrinn.

Nei, no får det vera nok teori. Eg tek ein tur på loftet og finn fram det elektriske pianoet eg kjøpte i elektronikkstroket Akihabara i Tokyo for meir enn 30 år sidan. Mi beste investering. Ho gjorde barna interessert i musikk. Eg prøver å spela nokre strofer frå «The Entertainer» som har brent seg fast i hjerneborken. Eg går fort lei og skrur på den gamle Tandbergen som no er utstyrt med Spotify. Eg lèt Leif Ove Andsnes overta. Eg er nok ein betre lyttar enn utøvar.

Per Thorvaldsen

pth@hvl.no

Kjelder: Isaac Asimov, Science, Numbers, and I – Matter of Scale, Doubleday 1968, ISBN 0441754570

Børre Nyhoff, Alv I. Aarskog, og Sverre Holm, Geometric Construction of Pythagorean and Just Musical Scales and Commas, The Mathematical Intelligencer, mars 2023

Emneknaggar

Fleire artiklar

Høgpatogen fugleinfluensa spreier seg stadig og har no råka mjølkekyr i USA.

Høgpatogen fugleinfluensa spreier seg stadig og har no råka mjølkekyr i USA.

Foto: Rodrigo Abd / AP / NTB

DyrFeature

Influensa-alarm

I mars i år blei det slått full smittealarm i USA. Fugleinfluensa er no funne i meir enn 40 mjølkekubesetningar frå ti ulike delstatar.

Arve Nilsen
Høgpatogen fugleinfluensa spreier seg stadig og har no råka mjølkekyr i USA.

Høgpatogen fugleinfluensa spreier seg stadig og har no råka mjølkekyr i USA.

Foto: Rodrigo Abd / AP / NTB

DyrFeature

Influensa-alarm

I mars i år blei det slått full smittealarm i USA. Fugleinfluensa er no funne i meir enn 40 mjølkekubesetningar frå ti ulike delstatar.

Arve Nilsen

Foto: Terje Pedersen / NTB

Ordskifte
Gunhild AlvikNyborg

FHI svikter sitt samfunnsoppdrag

«Det er svært viktig at FHI er tydelig overfor publikum på at de ikke jobber med årsaken til long covid.»

Teikning: May Linn Clement

Ordskifte
Halvor Tjønn

Å forveksla aggressor med forsvarar

«Etter at Putin kom til makta hausten 1999, har Russland ført ei heil rad med krigar.»

Den nyfødde kalven.

Den nyfødde kalven.

Foto: Hilde Lussand Selheim

Samfunn
Svein Gjerdåker

Ei ny Ameline er fødd

Vårsøg – også kalla Tripso sidan ho var så skvetten som ung, spissa øyro for ingenting og trippa med beina inn og ut av fjøset – fekk ein ny kalv natt til 13. mai.

I framgrunnen står skulpturen «Le Combattant» (1961) av Sonja Ferlov Mancoba, bronse.

I framgrunnen står skulpturen «Le Combattant» (1961) av Sonja Ferlov Mancoba, bronse.

KunstMeldingar

Tungvektar med oppsikts­vekkande manglar

Kunstsilo trona mot blå himmel i Kristiansand på opningsdagen, laurdag 11. mai 2024. Vegen frå idé til ferdig museum har vore lang og prega av konfliktar. Det står att å sjå kva Kunstsilo kan bety for fastbuande og tilreisande. Tangen-samlinga er kanskje verdas største samling av nordisk kunst frå 1900-talet, men er ho representativ for perioden, og er det så nøye?

Mona Louise Dysvik Mørk
I framgrunnen står skulpturen «Le Combattant» (1961) av Sonja Ferlov Mancoba, bronse.

I framgrunnen står skulpturen «Le Combattant» (1961) av Sonja Ferlov Mancoba, bronse.

KunstMeldingar

Tungvektar med oppsikts­vekkande manglar

Kunstsilo trona mot blå himmel i Kristiansand på opningsdagen, laurdag 11. mai 2024. Vegen frå idé til ferdig museum har vore lang og prega av konfliktar. Det står att å sjå kva Kunstsilo kan bety for fastbuande og tilreisande. Tangen-samlinga er kanskje verdas største samling av nordisk kunst frå 1900-talet, men er ho representativ for perioden, og er det så nøye?

Mona Louise Dysvik Mørk

les DAG OG TID.
Vil du òg prøve?

Her kan du prøve vekeavisa DAG OG TID gratis i tre veker.
Prøveperioden stoppar av seg sjølv.

Komplett

Papiravisa
Digital utgåve av papiravisa
Digitale artiklar
Digitalt arkiv
Lydavis

Digital

Digital utgåve av papiravisa
Digitale artiklar
Digitalt arkiv
Lydavis

Komplett

Papiravisa
Digital utgåve av papiravisa
Digitale artiklar
Digitalt arkiv
Lydavis

Digital

Digital utgåve av papiravisa
Digitale artiklar
Digitalt arkiv
Lydavis