Dette er ikkje ei moralpreike, men ein observasjon. Mange vel ektemake ved ein augeblinks hugskot klokka halv fire om natta på ein mørk bar iført ølbriller. Er det fornuftig?

Vel, dersom ein skal sikra seg eit godt val, bør ein anten observera over lang tid for å fjerna støyen i målingane eller sørga for at signala ein mottek, er mykje sterkare enn støyen, slik at sjølv eit kjapt augekast er nok.

Det beste er sjølvsagt å gjera å begge delar. Tilfellet sørgde for at kona mi og eg brukte eit halvt år på tilnærmingsprosessen med signal så sterke at andre måtte fortelja oss det. Resultatet vart 42 års samliv.

Kanskje var det ikkje kjærleik Claude Shannon tenkte på då han utvikla sin matematiske teori om kommunikasjon. Det var nok meir overføringa av generelle meldingar. Figur 1 viser utgangspunktet hans. Ei informasjonskjelde leverer meldingar til ein sendar som tilpassar meldingane til det mediet – luft, kabel eller optisk fiber – dei skal overførast i. Signala frå sendaren vert påverka av støy undervegs og vert mottekne og omgjorde til meldingar att.

Han undra seg over om det var ei øvre grense for kor mykje informasjon som kunne sendast frå sendar til mottakar når det var støy. Lat oss følgja i fotspora til Shannon med kjærleik som rettesnor:

I figur 2 ser du ei lita melding frå den kommande kona mi medan vi dansar på eit skoleball i 1975. Kva er det ho seier til meg i all støyen? For å få det med meg lyttar eg ofte – med ein frekvens fs i tida T meldinga tar. Spenningane, dei raude pilane i figur 2– eg måler v1, …, vn – er koordinatane i eit n-dimensjonalt meldingsrom. Energien eg mottar frå henne, er summen av alle spenningane kvadrert.

Er eg vorten treft av ein amors pil i det n-dimensjonale meldingsrommet med lengd rota av energien, eller er det berre kvardagsleg småprat? Overflata av den n-dimensjonale energiballen, der n=fs*T, er fylt opp med signal, men dei må vera så langt unna kvarandre at støy ikkje fører til mistolking.

Energien eg mottek, er ein sum av signal og støy som synt i figur 2 til høgre. Kvart signalnivå i n-energiballen har ein n-dimensjonal støyball rundt seg. Gjentek kona meldinga, vil ho komma ein annan plass på støyballen med sjølve signalet som origo i støyballen.

N-ballar har eit sjarmerande trekk. Alt volumet ligg i ei tynn hinne under overflata. Trur du meg ikkje, kan du sjå på ei rund skive og ein vanleg ball. «Volumet» av den inste helvta er større i skiva enn i ballen, og slik fortset det etter som dimensjonen aukar.

Det inneber at all støy ligg like langt unna det ønskte signalet vårt. Støyen er middelen over mange målingar. Kor mange ulike meldingar kan ein ta imot når ein har eit maksimalt energinivå og er utsett for støy? Vel, det er berre å fylla energiballen til randa, bokstaveleg talt, då volumet av n-ballen vi fyller inn i, ligg rett ved overflata, med støyballar. Då kan alle signal tydast korrekt med maksimal overføringsfart/kapasitet.

Figur 3 viser korleis ein gjer det med det tilhøyrande reknestykket. Vi har teke 2-logaritmen for å kunna uttrykka kapasiteten i bit per sekund.

Kapasiteten C gjev det maksimale talet på forskjellige feilfrie meldingar vi kan overføra, når energien som blir brukt per tidseining T, er E, når støyeffekten er N og når talet på målingar er fs. Kapasiteten C er kommunikasjonsteoriens svar på farten til lyset. Det er ikkje mogleg å senda med høgare kapasitet.

Shannon har tidlegare vist oss korleis ein kan komprimera meldingar mot ei nedre grense som han kalla entropi H. Ei kjelde kan då senda ut informasjon med ei maksimal rate R= fs*H. Skal overføringa fungera utan feil, må R vera mindre eller lik C. Blir R større enn C, vert det berre feil.

Kva kan ein til dømes oppnå med 5G? Der er fs lik 160.000.000 Hz og ein typisk S/N=100. C vert då 533 Mbit/s. Det meste ein kan vona på, er å få omkring 500 Mbit/s rett inn i mobilen. Om ein treng det, er ei anna sak.

Det er vel og bra å ha ei øvre grense for kapasitet, men korleis nå henne? Shannon viste at om ein bruker ei mengd av lange lovlege tilfeldig valde digitale kodar i eit hav av ulovlege, vil støy aldri endra koden så mykje at ein ikkje veit kva som vart sendt, då avstanden til andre lovlege kodar var for lang.

Dess meir koden liknar på støy, desto betre er han. Ein slik kode er upraktisk rekneteknisk og senkar kapasiteten, då mange bit må sendast. Med Shannons grense som heilag gral starta jakta på kodar som kunne komma i nærleiken.

I nesten eit halvt hundre år bala matematikarar med dette problemet utan å komma særleg nær grensa. Løysinga kom stille og roleg frå uventa hald på ein konferanse i 1993, men dei fantastiske kodane skal vi sjå nærare på ein annan fredag.

Korleis fekk eg veta kva kona sa til meg? Vi dansa tett, og Rod Stewart var støyen. Vel, eg bøygde meg inn mot henne og sa: «Hæ?» Eg fekk eit kyss til svar. Ho valde ein annan kanal. Lukka vart fullkommen.

Per Thorvaldsen

per.eilif.thorvaldsen@hvl.no